Less than Cumulative Frequency in Statistics

The Less than Cumulative Frequency distribution is a method of representing data where each cumulative frequency indicates the number of observations less than or equal to the upper class boundary of a class interval. यह तकनीक RPSC और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, UPSC) में अक्सर पूछी जाती है और High School तथा Undergraduate स्तर पर पढ़ाई जाती है।

📖 Definition / परिभाषा

Textbook Definition:
Less than Cumulative Frequency for a given class interval represents the total number of observations or frequencies that are less than or equal to the upper class boundary of that interval. It is obtained by successively adding the frequencies from the lowest class interval up to the current interval.

आसान परिभाषा (Student Friendly):
‘से कम’ संचयी बारंबारता बताती है कि किसी निश्चित मान (यानी वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा) से कम या उसके बराबर कुल कितने डेटा बिंदु (या अवलोकन) हैं। इसे निकालने के लिए, हम सबसे छोटे वर्ग से शुरू करके हर वर्ग की बारंबारता (frequency) को पिछली बारंबारता में जोड़ते जाते हैं।

📝 Formula / सूत्र

‘Less than Cumulative Frequency’ एक संचयी प्रक्रिया है, जिसके लिए कोई निश्चित गणितीय सूत्र नहीं है। इसे step-by-step addition के रूप में लिखा जा सकता है:

जहाँ / Where:

• = Current Less than Cumulative Frequency (वर्तमान वर्ग के लिए)
• = Frequency of the current class (वर्तमान वर्ग की बारंबारता)
• = Previous Less than Cumulative Frequency (पिछले वर्ग के लिए)

Note: पहले वर्ग की Less than Cumulative Frequency उसकी अपनी frequency के बराबर होती है।

🔍 Step-by-Step Process / गणना के चरण

1. वर्ग अंतरालों को ascending order में लिखें।
2. पहले वर्ग की CF = उसकी frequency।
3. अगले वर्ग की CF = उसकी frequency + पिछले वर्ग की CF।
4. अंतिम वर्ग की CF = कुल अवलोकनों (N) के बराबर होगी।

✅ Solved Example (Numerical)

Problem: छात्रों के अंकों के लिए Less than Cumulative Frequency निकालें।

Answer:

• Less than 10 → 5 students
• Less than 20 → 13 students
• Less than 30 → 25 students
• Less than 40 → 35 students
• Less than 50 → 40 students (Total)

🌍 Real-Life Applications / वास्तविक उपयोग

• परीक्षा परिणाम: कितने छात्रों ने किसी निश्चित अंक से कम प्राप्त किए।
• आय वितरण: कितने परिवारों की आय किसी सीमा से कम है।
• गुणवत्ता नियंत्रण: कितने उत्पादों में दोष एक निश्चित संख्या से कम हैं।

📌 Advantages / फायदे

• डेटा को आसानी से समझने योग्य बनाता है।
• Median, Quartiles, Percentiles निकालने में मदद करता है।
• Ogive ग्राफ बनाने में आवश्यक।
• डेटा तुलना आसान होती है।

⚠️ Limitations / सीमाएँ

• मूल frequency table खो जाती है।
• केवल ‘Less than’ जानकारी देता है, ‘More than’ नहीं।

❌ Common Mistakes / सामान्य गलतियाँ

• Frequency जोड़ते समय गलती करना।
• ‘Less than’ को ‘More than’ से confuse करना।
• Upper limit की बजाय lower limit लेना।

🎯 Expert Exam Tips

• Median निकालने से पहले हमेशा Less than Cumulative Frequency table बनाएं।
• Ogive plot करते समय X-axis = Upper limits, Y-axis = CF।
• अंतिम CF हमेशा N (कुल students/data points) के बराबर होनी चाहिए।

📋 Quick Revision Table

❓ FAQs

Q1. ‘Less than Cumulative Frequency’ का उपयोग कब किया जाता है?
👉 Median, Quartiles, Percentiles और Ogive बनाने में।

Q2. ‘Less than CF’ निकालते समय किस सीमा का उपयोग करते हैं?
👉 हमेशा Upper class limit का।

Q3. अंतिम CF क्या दर्शाती है?
👉 यह हमेशा कुल observations (N) होती है।

📚 References

• NCERT Statistics (Class 11)
• Fundamentals of Statistics – S.C. Gupta
• More than Cumulative Frequency in Statistics

✍️ Author Note

Prepared by Dr. Amrita Mehta, Statistics Educator for RPSC & UGC Exams. Helping students with exam-friendly notes & solved examples.